توصیف کننده های مولکولی مبتنی بر درجه محله از دندریمرهای درخت فراکتال و کیلی

شاخص توپولوژیکی ارتباطی بین ساختار شیمیایی و تعداد واقعی است که در زیر ایزومورفیسم گراف متغیر است. در مدل سازی ساختار و ساختار و ساختار و فعالیت ، شاخص های توپولوژیکی به عنوان توصیف کننده های مولکولی اساسی برای پیش بینی خصوصیات مختلف فیزیکوشیمیایی مولکول در نظر گرفته می شوند. دندریمرها مهمترین اجزای اساسی و تجاری در دسترس در فناوری نانو محسوب می شوند. در این گزارش ، برخی از توصیف کننده های مولکولی مبتنی بر درجه محله برای درخت فراکتال و دندریمرهای درخت Cayley به دست می آیند. محله M-polynomial خانواده ای از شاخص های توپولوژیکی را برای یک نمودار مولکولی در زمان کمتر در مقایسه با محاسبات معمول از تعاریف آنها به دست می آورد. برخی از شاخص ها با استفاده از رویکرد M-polynomial محله بدست می آیند. علاوه بر این ، برخی از توصیف کننده های مولکولی مبتنی بر درجه محله چند برابر برای دندریمرهای درخت فراکتال و کیلی ارزیابی می شوند. بازنمودهای گرافیکی نتایج ارائه شده است. یک مطالعه تطبیقی از یافته ها با برخی از شاخص های شناخته شده مبتنی بر درجه انجام شده است. سودمندی توصیف کنندگان در مدل سازی خصوصیات و فعالیتهای مختلف مورد بحث قرار گرفته است.

روی نسخه خطی کار می کنید؟

از رایج ترین اشتباهات خودداری کنید و نسخه خطی خود را برای ویراستاران ژورنال آماده کنید.

معرفی

در طول این مقاله ، نمودار مولکولی [9 ، 15 ، 62] را در نظر می گیریم که بدون هیچ گونه حلقه و لبه های موازی به نمودار متصل می شود. در نمودار مولکولی (نمودار شیمیایی) ، اتمها و پیوندهای شیمیایی بین آنها به ترتیب گره ها و لبه ها فرض می شوند. گره و لبه های لبه نمودار ( vargamma ) به عنوان (v ( vargamma) ) و (e ( vargamma) ) بیان می شوند. درجه گره X در (v ( vargamma) ) ، که توسط ( omega _ (x) ) نشان داده شده است ، تعداد کل اتصالات لبه مرتبط با x است. علاوه بر این ، ما ( kappa _ (x) = sum nolimits _ را تعریف می کنیم omega _ (y) ) ، جایی که (n_ (x) = lbrace y in v ( vargamma): xy in e ( vargamma) rbrace ). نظریه نمودار شیمیایی در برقراری ارتباط بین شیمی و ریاضیات قابل توجه است. شیمی ریاضی مطالعه شیمی کیفی است که از ریاضیات گسسته برای بحث و پیش بینی ساختار مولکولی استفاده می کند. در این زمینه ، یک ابزار مهم توصیف کننده مولکولی است. توصیف کننده های مولکولی یا شاخص های توپولوژیکی مقادیر عددی هستند که از نمودار مولکولی به دست می آیند که برای نمودارهای ایزومورفیک یکسان است. ایده شاخص توپولوژیکی توسط شیمیدان برجسته هارولد وینر در سال 1947 آغاز شد که وی شاخص وینر [66] را برای پیش بینی نقطه جوش پارافین ارائه داد. از آن زمان تاکنون هزاران شاخص تاکنون پیشنهاد شده است [61]. در مطالعه کمی ساختار ساختا ر-پروپری/فعالیت (QSPR/QSAR) ، شاخص های توپولوژیکی نقش مهمی در مدل سازی خواص مختلف و فعالیت های مولکول بدون استفاده از آزمایشگاه وزن دارند. باساک و همکاران.[3] ثابت کرد که از روش QSAR می توان برای طراحی مولکولهای دفع کننده پشه استفاده کرد. تجزیه و تحلیل QSAR در تعیین توصیف کننده های کلیدی مولکولی مرتبط با ورود سد خون و مغزی ترکیبات شیمیایی در [37] ارائه شده است. مدل های طبقه بندی QSAR برای پیش بینی فعالیت مهار کننده های بتا سسکتاز (BACE1) مرتبط با آلزایمر توسط پونزونی و همکاران مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرند.[54]در یک کار اخیر [25] ، تجزیه و تحلیل QSPR/QSAR برخی از داروهای ضد ویروسی که برای معالجه بیماران COVID-19 مورد بررسی قرار می گیرند ، ارائه شده است. نویسندگان حاضر [44] تجزیه و تحلیل QSPR برخی از توصیف کننده های جدید را در زمان فعلی انجام دادند. شاخص های توپولوژیکی طراحی ساختار مولکولی را توضیح می دهد و به طور قابل توجهی بر خصوصیات و فعالیتهای مختلف مانند آنتروپی ، فاکتور acentric ، پایداری ، نقطه جوش ، انکسار مولر و غیره تأثیر می گذارد. شاخص های توپولوژیکی مبتنی بر درجه ها نقش برجسته ای در این زمینه از تحقیقات در بین چندین کلاس از شاخص های توپولوژیکی دارندبشرگوتمن و همکاران.[16] توصیف کننده ساختار مبتنی بر درجه اول را در سال 1972 ارائه داد که امروزه به عنوان شاخص Zagreb شناخته می شود. در سال 1975 ، M. Randić [55] شاخص انشعاب را برای توصیف انشعاب مولکولی که بعداً به عنوان شاخص اتصال تغییر نام یافت ، اختراع کرد. امروزه بیشتر نویسندگان به آن به شاخص Randić اشاره می کنند. شاخص های مبتنی بر درجه بر اساس درجه گره های انتهایی لبه ها برای یک نمودار ( vargamma ) به شرح زیر تعریف شده است:

جایی که (f ( omega _ (x) ، omega _ (y)) ) برای توصیف کننده های مختلف تثبیت شده در جدول 1 تعریف شده است.

در حال حاضر ، توصیف کننده های مولکولی از نوع زاگرب از کاربید وانادیوم و کاربردهای آنها در [6] شرح داده شده است. در برخی از آثار اخیر [7 ، 69] ، توصیف کننده های مولکولی مبتنی بر درجه برای سیستم های بنزنوئید و نیترید کربن گرافیتی محاسبه می شوند. نویسندگان حاضر با الهام از شاخص های مبتنی بر مدرک ، برخی از شاخص های مبتنی بر درجه محله را طراحی کرده اند که دارای همبستگی خوبی با آنتروپی و فاکتور acentric هستند [14 ، 39 ، 40]. آنها در جدول 2 آورده شده است.

جدول 2 فرمولاسیون توصیف کننده های مولکولی بر اساس درجه همسایگی گره ها برای یک نمودار ( vargamma )

در [45] ، Mondal et al. شاخص های مبتنی بر درجه محله را به شرح زیر تعمیم داده است:

شاخص ژنرال محله Zagreb از یک نمودار ( vargamma ) به عنوان تعریف شده است

هنگامی که ( alpha = -1 ، -2 ،- frac ) ، ما شاخص مدرک معکوس محله (NID) ، شاخص اول محله اصلاح شده ( (^nm_ )) و شاخص سفارش Zeroth (NZ) را به ترتیب داریم. که توسط کولی [27] به شرح زیر فرموله شده است:

شاخص اتصال جمع عمومی محله از یک نمودار ( vargamma ) به عنوان تعریف شده است

برای ( alpha =- frac ) در فرمول (n chi _ ) ، شاخص دوم NDE [44] به شرح زیر است:

محققان با الهام از اهمیت شیمیایی شاخص های توپولوژیکی نمودارهای مولکولی ، توصیف کننده های توپولوژیکی را برای ساختارهای شیمیایی مختلف ، دندریمرها ، درختان و غیره پیدا کرده اند. یک درخت یک نمودار متصل و بدون چرخه است. گره هایی با درجه ( ge 3 ) به عنوان نقطه شاخه درخت شناخته می شوند. توسط درخت شیمیایی ، ما می گوییم یک نمودار درختی با بالاترین درجه راس 4. دندریمرها به طور متراکم بسته بندی شده و مولکول های مولکولی تک پراکنده هستند. معماری چنین موادی تأثیر قابل توجهی در خصوصیات و فعالیتهای مختلف آنها دارد. به دلیل ماهیت خاص آنها ، دندریمرها برای تنوع زیادی از صنایع دارویی و تولیدی مفید هستند. Fractality به عنوان یک مفهوم مهم برای توصیف الگوهای خودی موجود در زمینه های تحقیقاتی متنوع ، از جمله هندسه در طبیعت ، پدیده های انتقادی و سیستم های هرج و مرج شناخته شده است [38 ، 60]. موارد بی شماری از فراکتال ها از جمله منحنی فون کوش ، کلم بروکلی ، گل نیلوفر آبی سفید و غیره وجود دارد. Imran et al. توصیف کننده های مولکولی مشتق شده از درخت فراکتال و کیلی در [23]. حسین و همکاران.[22] در مورد خصوصیات توپولوژیکی برخی از خانواده های دندریمرهای نانوستار بررسی شده است. نویسندگان حاضر شاخص های ذکر شده در جدول 2 را برای شبکه های مختلف اکسید و سیلیکات [41] ، نانولوله ها و نانولوله ها [42] و شبکه گرافن محاسبه کردند [43]. برای ادامه این سفر ، ما قصد داریم (m_ ) ، (f_ ) ، (f _^) ، (m _^) ، (hm_ ) و (m _^) را برای فراکتال محاسبه کنیم. و دندریمرهای درخت کیلی.

چند جمله ای جبر نقش مهمی در حوزه شیمی ریاضی برای کاهش زمان و پیچیدگی در محاسبه یک دسته خاص از شاخص های توپولوژیکی برای خانواده ای از شبکه ها ایفا می کند. به عنوان مثال ، در منطقه توصیف کننده های مبتنی بر فاصله ، چند جملهای Hosoya [20] ابزاری مهم است. برای برخی دیگر از این جمله ها ، خوانندگان به [10 ، 18 ، 68] گفته می شود. در زمینه توصیف کننده های مولکولی مبتنی بر درجه ، M-Polynomial عملکرد مهمی در غلبه بر استراتژی وقت گیر برای استخراج شاخص ها با استفاده از فرمولاسیون های معمولی دارد [1 ، 8]. موندال و همکاران. محله M-Polynomial (NM) را ارائه داد که نقش موازی در M-Polynomial برای به دست آوردن خانواده خاصی از شاخص های مبتنی بر درجه محله دارد [47 ، 63]. NM-polynomial یک نمودار ( vargamma ) به صورت فرموله شده است:

جایی که ( xi _ ) تعداد کل لبه های xy با ( kappa _ (x) = i ) و ( kappa _ (y) = j ) است.

رابطه بین شاخص های مختلف مبتنی بر درجه محله و NM-Polynomial در جدول 3 نشان داده شده است.

جدول 3 فرمولاسیون توصیف کننده های مولکولی مختلف تعریف شده در مجموع گره ها و مشتق آنها از NM-polynomial برای یک نمودار ( vargamma )

جایی که (nm ( vargamma) ) تابعی از u ، v است که در معادله (1) تعریف شده است

Kwun و همکاران [32] خواص توپولوژیکی نانولوله های V-فنیلنیک و نانوتوری را از طریق M-Polynomials و شاخص های توپولوژیکی مبتنی بر درجه مورد مطالعه قرار دادند. نویسندگان حاضر [48] شاخص های توپولوژیکی را برای نمودار فلج برخی از ساختارهای برازنده با استفاده از M-Polynomial به دست آوردند. Munir et al [52] شاخص های مبتنی بر درجه نانولوله تایتانیا (Tio_ ) را از M-Polynomial ارزیابی کرد. به تازگی ، m-polynomials از برخی از ساختارهای نانو و لبه زیگزاگ کرونوئید توسط استرپن در [2 ، 57] مشتق شده است. توصیف کننده های توپولوژیکی برای ساختار کریستالی تیتانیوم دیفلوئورید (TIF_ ) در [34] بدست می آیند. توصیف کننده های توپولوژیکی ساختار کربن مکعب کریستال و ساختار گرافیت کربن در [5] با استفاده از روش M-polynomial محاسبه می شوند. شاخص های مبتنی بر میزان همسایگی نمودارهای مولکولی در [47 ، 63] با استفاده از NM-Polynomial به دست می آید. m-polynomial و nm-polynomial برخی از مواد شیمیایی ضد Covid-19 در [49] ارزیابی می شود.

برای ( alpha = frac ،- frac ) در فرمول (nr_ ) گزارش شده در جدول 3 ، شاخص های اول و چهارم NDE [44] به شرح زیر است:

قرار دادن ( beta = 2 ، gamma = 1 ) در فرمول (nz_<(x08eta ,gamma )>) در جدول 3 ظاهر شد ، ما شاخص سوم NDE [45] را به شرح زیر به دست می آوریم:

هدف از گزارش حاضر ، استخراج توصیف کننده های ذکر شده در جدول 3 با استفاده از NM-Polynomial برای دندریمرهای درخت فراکتال و Cayley است.

Narumi و Katayama [53] شاخص مبتنی بر درجه چند برابر را در سال 1980 معرفی کردند که به عنوان شاخص Narumi-Katayama شناخته می شود ، که به عنوان تعریف شده است

پس از آن انواع مختلفی از این شاخص ها ایجاد می شود. برای مطالعه شاخص های مختلف مبتنی بر درجه چند برابر ، خوانندگان به [28 ، 46 ، 58 ، 65] مراجعه می کنند. موندال و همکاران. شاخص های مبتنی بر درجه یک محله مختلف مختلف را در [45] معرفی کرد که در جدول 4 گزارش شده است.

جدول 4 فرمولاسیون برخی از شاخص های چند برابر عمومی تعریف شده در مورد درجه همسایگی گره ها برای نمودار ( vargamma )

اختصاص مقادیر خاص به ( alpha ، beta ، gamma ) در فرمول کلی شاخص ها در جدول 4 ، ما برخی از شاخص های خاص را در جدول 5 می گیریم. شاخص های موجود در جدول 5 با استفاده از یادداشت های مختلف در ادبیات ارائه شده است[12 ، 29،30،31 ، 45]. ما آنها را به طور یکنواخت در اینجا با استفاده از نمادها (nds_'s ) ترتیب می دهیم.

جدول 5 روابط برخی از شاخص های مبتنی بر درجه یک محله خاص با عبارات عمومی آنها

جهانابی و همکاران [24] شاخص های مبتنی بر درجه چند ضلعی از برخی مواد شیمیایی مورد استفاده در داروهای ضد سرطان را به دست آوردند. شاخص های چند برابر Zagreb برخی از نمودارهای مولکولی در [67] مورد مطالعه قرار گرفته است. در [33] ، شاخص های مختلف چندگانه برای برخی از ورق های سیلیکون-کربن ارزیابی می شود. در برخی از مقالات اخیر [4 ، 11 ، 50] ، شاخص های مبتنی بر مدرک درجه یک محور و محله برای مواد شیمیایی ضد Covid-19 ، شبکه های اکتاهدرون مسطح و سری بنزنوئید محاسبه می شوند. در این مقاله ، هدف ما ارزیابی توصیف کننده های مختلف مولکولی مبتنی بر درجه محله مختلف برای دندریمرهای Fractal و Cayley Tree است.

بخش باقیمانده نسخه خطی به شرح زیر نوشته شده است. بخش 2 مواد و روشهایی را که برای به دست آوردن نتایج اصلی استفاده می شود ، توصیف می کند. انگیزه کار و اهمیت شاخص ها در فرقه نشان داده شده است. 3. بخش 4 با برخی از شاخص های مبتنی بر درجه محله از دندریمر درخت فراکتال سروکار دارد. بخش 5 شامل محاسبه شاخص های توپولوژیکی برای درخت Cayley Dendrimer است. در فرقه6 ، برخی از توصیف کننده های تعریف شده در مورد درجه بندی گره های محله برای هر دو دندریمر با استفاده از رویکرد NM-polynomial محاسبه می شوند. بخش 7 حاوی شاخص های مختلف مبتنی بر درجه یک محله مختلف است که از دندریمرهای فوق الذکر است. مطالعه تطبیقی یافته ها در فرقه انجام می شود. 8- کار با برخی اظهارات مهم در فرقه به پایان می رسد. 9

مواد و روش ها

کار حاضر با برخی از شاخص های مبتنی بر درجه محله مبتنی بر درجه محله و چند درجه بندی مبتنی بر ساختارهای Dendrimer Fractal و Cayley Tree. نوع اول شاخص ها با استفاده از دو رویکرد محاسبه می شوند: اشتقاق معمول از فرمولاسیون و روش NM-polynomial. برای بازیابی شاخص های توپولوژیکی از NM-Polynomial ، از برخی از اپراتورهای حساب استفاده می شود. در نوع بعدی ، برخی از عبارات کلی به دست می آیند و برخی از شاخص های خاص از آن ارزیابی می شوند. ما از روشهای پارتیشن ورتکس و لبه ، ابزارهای نظری نمودار و محاسبات ترکیبی استفاده می کنیم تا نتایج خود را بدست آوریم. نتایج به صورت گرافیکی با استفاده از MATLAB 2017 و MAPLE 2015 شرح داده شده است.

انگیزه و برنامه ها

تجزیه و تحلیل QSPR/QSAR یک تحقیق مؤثر برای تجزیه یک مولکول به یک سری از مقادیر عددی است که خصوصیات فیزیکوشیمیایی مربوطه و فعالیتهای بیولوژیکی آن را توضیح می دهد. معمولاً آزمایش یک ترکیب با استفاده از یک آزمایشگاه مرطوب بسیار پر هزینه است ، اما مطالعه QSPR/QSAR اجازه می دهد تا این هزینه کاهش یابد. برای تعیین کاربرد یک توصیف کننده مولکولی در تجزیه و تحلیل QSPR/QSAR ، باید توصیف کننده با برخی از مجموعه داده های معیار ارتباط برقرار کند. در مدل سازی ساختا ر-پروپری/ساختار و فعالیت ، توصیف کننده دارای ضریب همبستگی مطلق (| R |) ( GE 0. 8 ) از نظر شیمیایی معنی دار است. توصیف کننده هایی که دارای قوی ترین همبستگی در این مطالعه هستند ، اطلاعاتی در مورد گروه های کاربردی اساسی ترکیبات مورد نظر ارائه می دهند. بر این اساس ، ما می توانیم با اصلاح گروه های خاص در ساختار داروها ، عملکرد دارویی یا خصوصیات فیزیکوشیمیایی داروها را تنظیم کنیم. شاخص وینر مدل زیر را برای نقطه جوش پارافین ها [66] بازده می دهد.

جایی که (t_b ) نقطه جوش است ، W ، P به ترتیب شاخص وینر و تعداد قطبیت است ، به ترتیب ، A ، B ، C ثابت برای یک گروه ایزومریک معین است. شاخص Hyper-Wiener [36] می تواند نقطه جوش یک سری از آلکانهای چرخه ای و اسکلی را مدل کند. وابستگی ساختار کل ( pi ) -انرژی الکتریکی را می توان با استفاده از شاخص های اول و دوم زاگرب تقریب داد [16]. یک مدل خطی ترکیبی از شاخص اول زاگرب و شاخص توپولوژیکی فراموش شده می تواند لگاریتم ضریب پارتیشن اکتانول-آب را با دقت بالا توصیف کند [13]. شاخص Randić برای اندازه گیری میزان انشعاب اسکلت اتم کربن هیدروکربنهای اشباع مناسب است [55]. شاخص درجه تقسیم متقارن برای تعیین سطح کل سطح پلی کلروبیفنیل ها معنی دار است [35]. در [14 ، 39 ، 40] ، مشخص شده است که توصیف کننده های ذکر شده در جدول 2 توانایی پیش بینی خوبی برای خواص فیزیکوشیمیایی آنتروپی (ها) و فاکتور acentric (AF) را برای مجموعه داده های متنوع اکتان ها نشان می دهند (جدول 6).

جدول 6 |r |مقادیر (m_ ) ، (f_ ) ، (f _^) ، (m _^) ، (hm_ ) و (m _^) با s و af برای اکتان ها

اتصالات خطی چنین توصیف کننده هایی با S و AF برای اکتان در شکل 1 نشان داده شده است.

اتصالات خطی برخی از توصیف کنندگان بر اساس مبلغ درجه محله با S و AF برای Octanes

ضرایب همبستگی مطلق (| r |) از (^m_ ) ، (nd_ ) ، (nd_ ) ، (nd_ ) ، (nd_ ) ، nh و ni با آنتروپی و فاکتور acentricبرای ایزومرهای اکتان ( GE 0. 93 ) [44 ، 51]. با کمال تعجب ، ضریب همبستگی نیکل با فاکتور acentric 0. 99 است ، یعنی بسیار نزدیک به حداکثر مقدار 1. همبستگی (ND_ ) با خصوصیات فیزیکوشیمیایی مختلف از جمله نقاط جوش ، دمای بحرانی ، حجم مولر در 20 (^)، شکست های مولی در 20 (^) ، گرمای تبخیر (HV) در 25 (^) و تنش های سطح (ST) در 20 (^) برای آلکان ها نیز قابل توجه است ( (| r | ge0. 9 )) [44]. شاخص های گزارش شده در جدول 5 می توانند یک ویژگی یک ویژگی از فاکتور acentric ، آنتالپی استاندارد تبخیر ، آنتروپی ، انکسار مولی ، حجم مولی ، چگالی و ظرفیت گرما را در فشار ثابت برای ایزومرهای اکتان با دقت قدرتمند مدل کنند [50].|r |مقدار (nds_7 ) برای انکسار مولی 0. 999 است که نتیجه عالی برای اطمینان از پیش بینی مناسب شاخص است. بنابراین توصیف کننده های ذکر شده در بالا در تجزیه و تحلیل QSPR/QSAR با دقت پیش بینی قوی کارآمد هستند. علاوه بر این ، یک توصیف کننده به خوبی باید ساختارهای مختلف را برای رمزگذاری اطلاعات منحصر به فرد تبعیض قائل شود. کنستانتینووا برای اندازه گیری توانایی تبعیض ایزومر توصیف کننده های مولکولی حساسیت [26] را معرفی کرد. برتری توصیف کننده های فوق در مقایسه با سایر توصیف کننده های مبتنی بر درجه در توصیف نمودارهای مولکولی منحصر به فرد در [39 ، 40 ، 44 ، 50 ، 51] ایجاد شده است. بنابراین محاسبات معقول و منطقی است که چنین توصیف کننده هایی را برای شبکه های مختلف شیمیایی مهم و ساختارهای پلیمری انجام می دهد. در اینجا ، ما در حال بررسی فراکتال هستیم ( (T_<mathcal >( mu) )) درخت و cayley ((t_<mathcal >( sigma ، tau)) ) دندریمرهای درخت. الگوهای ساختاری فراکتال ها بسیار جالب است ، جایی که هر زیر ساختار کوچک همانند کل است. در شبکه های پیچیده ، از جمله اینترنت ، شبکه های اجتماعی و شبکه های بیولوژیکی ، املاک فراکتالی یافت می شود. نانوذرات و فیلم های مانند فراکتال دارای پاسخ های نوری فوق العاده گسترده هستند و اجزای بالقوه نانو برای جلوه های نوری با افزایش طیف هستند. بنابراین ارزش آن را دارد که از نظر توصیف کننده های مولکولی ، خصوصیات و فعالیتهای مختلف فراکتال را بررسی کنید.

شاخص های توپولوژیکی دندریمر درخت فراکتال ( (T_<mathcal >( mu) ))

در این بخش ، اولاً ما در مورد Dendrimer درخت فراکتال مطالعه می کنیم و سپس برخی از توصیف کنندگان را بر اساس مقدار درجه محله با استفاده از روش Partition Vertex و Edge می یابیم. ساخت درخت فراکتال (t_<mathcal >( mu) ) مورد بررسی یک طرح تکراری است ، جایی که ( mu ( ge 0) ) شماره تکرار است. ما با (t_ شروع می کنیم<mathcal >(0) ) که در آن یک لبه واحد بین دو گره وجود دارد. انجام دو عمل در هر لبه در (T_<mathcal >( mu) ) ، ما (t_<mathcal >( mu) ). در مرحله اول ، ما مسیری از طول 3 تا هر لبه موجود را بین نقاط انتهایی لبه ایجاد می کنیم ، یعنی دو گره جدید را در هر لبه وارد می کنیم. بعداً ، گره های جدید ( lambda ) را برای هر یک از دو گره میانی در مسیر در نظر می گیریم و آنها را به گره های میانی مربوطه وصل می کنیم. ساخت آن برای برخی از مقادیر خاص پارامترها در شکل 2 نشان داده شده است. ترتیب و اندازه (T_<mathcal >( mu) ) (42 mu lambd a-28 lambda +63 m u-41 ) و (42 mu lambd a-28 lambda +63 m u-42 ) هستند. پارتیشن های راس و لبه (T_<mathcal >( mu) ) در جدول 7 و جدول 8 شرح داده شده است.

یک درخت فراکتال برای ( mu = 3 ، lambda = 2 ) ، b درخت فراکتال برای ( mu = 4 ، lambda = 3 )